一、波函数

1 薛定谔方程

目的：

• 引入薛定谔方程并介绍其意义

1.1 与经典物理对比

	经典力学	量子力学
应用工具	牛顿第二定律+保守场受力 $$ m\frac{d^2 x^2}{dt^2} = -\frac{\partial V}{\partial x}$$ $t=0$（或其他初始条件）	薛定谔方程 $$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V\Psi$$ $\Psi(x,0)=0$（或其他初始条件）
可确定	$x(t)$	波函数$\Psi(x,t)$

2 波函数

目的：

• 了解波函数的概率性
• 理解粒子的波动性

波函数是空间中粒子的一个分布，在给定的时间 $t$，它是 $x$ 的一个函数.

2.1 玻恩波函数统计诠释

$$
\int_{a}^{b} |\Psi(x,t)|^2dx = \left\{ \text{在} t \text{ 时刻发现粒子处于} a \text{ 和 } b \text{ 之间的概率.} \right\}
$$

波函数$\Psi$本身是复数，但是 $|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi$ ($\Psi^*$ 是 $\Psi$ 的复共轭) 是一个非负实数，就像一个概率必须是正的实数那样.

这个概率是$|\Psi|^2$的图形中由$a$到$b$所包围的面积.

引入了不确定性，掌握了波函数依然不能准确预言而仅仅能提供统计信息.

2.2 对不确定性的解释

假定我们确实测量了这个粒子的位置并且发现它在 $C$ 点。问题：在我们恰好进行测量之前这个粒子在哪里？

对这个问题有几种可能的回答，它们代表不同学派对不确定性的不同看法。

1. 现实主义：粒子还在 C 点. 这意味着量子力学并不完备，已有的工具并不能告诉我们这个结果. 还需要某些 隐变量 才能完全描述.
2. 哥本哈根：哪里也不在. 是观测者的存在使结果坍缩.
3. 不可知论：拒绝回答. 为某些由其本质是不可被检测的事而担忧是故弄玄虚.
4. 多宇宙诠释：观测产生新宇宙.
5. 量子贝叶斯理论：暂时未学习.

2.3 电子干涉

“粒子”具有波的特性，自己就是一个概率波. 其实粒子的自身是在一定空间范围内物质存在的概率，它的概率以波的形式存在，我们观测到的又是它的存在，所以“粒子”是概率波.

更精确的物理表述：

1. 波函数 (Wave Function, Ψ): 在量子力学中，我们不用一个经典的位置和动量来描述一个粒子，而是用一个称为 波函数 $\Psi(x, t)$ 的数学对象来完整地描述它的状态。这个波函数本身并不是直接的概率，它是一个复数函数（complex function），包含了粒子所有可观测量的全部信息（如位置、动量、能量等）。
2. 概率密度 (Probability Density): 您提到的“物质存在的概率”与波函数的关系，是由物理学家马克斯·玻恩（Max Born）提出的，被称为 玻恩定则 (Born rule) 。具体来说，粒子在某一时刻 t 、在空间某一点 x 附近被发现的 概率密度 （probability density）等于其波函数振幅的 平方 ，即 $|\Psi(x, t)|^2$ 。
   • 这意味着 $|\Psi|^2$ 越大的地方，找到这个粒子的概率就越高。粒子本身并不是一个概率，而是它的 存在状态 由一个概率分布来描述，而这个概率分布的形式由波函数决定。
3. 波函数坍缩 (Wave Function Collapse): 您说的“我们观测到的又是它的存在”这一点至关重要。当量子系统（如一个电子）与一个宏观的测量仪器相互作用（即我们进行“观测”时），它的波函数会发生一个突变的过程，称为“坍缩”。原本弥散在空间中的、描述多种可能性的波函数会瞬间“坍缩”到一个确定的状态。
   • 例如，在测量位置之前，电子的波函数 $\Psi$ 可能分布在很广阔的空间里；一旦我们用探测器精确地测到了它的位置，它的波函数就坍缩成了那个位置上的一个点（严格来说是一个非常集中的波包）。这就是为什么我们总能观测到一个 完整的、点状的 粒子，而不是一个“稀释的”或“破碎的”粒子。

总结与辨析：“粒子是概率波”这句话对吗？

在 哥本哈根诠释 的框架下，这句话可以说是一种非常形象且接近本质的说法。这种诠释认为，在测量之前，谈论粒子“到底”在哪里是没有意义的。粒子就“是”那个弥散的、由波函数所描述的潜在可能性之云。是我们的 测量行为 迫使它从这种不确定的波动态“选择”了一个确定的粒子态。

然而，值得一提的是，这并非物理学界唯一的观点。例如：

• 德布罗意-玻姆理论 (De Broglie-Bohm theory) 认为，粒子和引导它的波（导波）是两个同时真实存在的、相互分离的实体。粒子一直有确定的位置，只是我们不知道而已，而波函数的作用就是引导这个粒子运动。

3 概率

3.1 分立变量（即离散数据）

量子力学中平均值让人最感兴趣，故而叫做 期待值. 但是一次测量中最可能得到的是 最概然 值.

$$
\sigma = \sqrt{\langle j^2 \rangle – \langle j \rangle^2}
$$

这意味着$\langle j^2 \rangle \ge \langle j \rangle·^2$，而仅仅在$\sigma=0$时（每个元素都相等）等号成立.

琴生不等式指出，对于任意凸函数 $f(x)$（例如 $f(x)=x^2$，其二阶导数 $f”(x)=2>0$），我们有： $$f(\langle j \rangle) \le \langle f(j) \rangle$$ 将 $f(x) = x^2$ 代入，我们直接得到： $$\langle j^2 \rangle \ge \langle j \rangle·^2$$

3.2 连续变量（即概率密度）

$$
P_{ab} = \int_{a}^{b} \rho(x) \, dx,
$$
$$
1 = \int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x) \, dx,
$$
$$
\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x \rho(x) \, dx,
$$
$$
\langle f(x) \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \rho(x) \, dx,
$$
$$
\sigma^2 = \left\langle (\Delta x)^2 \right\rangle = \left\langle x^2 \right\rangle – \langle x \rangle^2.
$$

4 归一化

目的：

• 掌握归一化的时间不变性

边界性问题：

• 复系数的作用和解法

薛定谔方程$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V\Psi$ 同时需要满足$\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx = 1$，解一元线性微分方程得到的解中$A\Psi(x,t)$ 也是一个解，$A$ 是一个任意的复常数. 所以要归一化保证积分结果为1.

如果解的平方积分为无穷或者解为 0，没有因子可以使积分为 1，必须舍弃. 物理上可实现的态都对应薛定谔方程的解平方可积.

波函数的归一化不受时间影响，可以自动保持. 证明： 首先有，

$$\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t} |\Psi(x,t)|^2 dx.\tag{1.21}
$$

(注意这个积分仅仅是时间 $t$ 的函数，所以我​​在左边表示式用了全导数 ($d/dt$)，而被积函数既是空间 $x$ 的函数也是时间 $t$ 的函数，所以在右边表示式中用了偏导数 ($\partial/\partial t$). ) 由求导规则得

$$ \frac{\partial}{\partial t} \lvert\Psi\rvert^2 = \frac{\partial}{\partial t}(\Psi^{\ast} \Psi) = \Psi^{\ast}\frac{\partial \Psi}{\partial t} + \frac{\partial \Psi^{\ast}}{\partial t} \Psi. \tag{1.22}$$

薛定谔方程变为 $$ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V\Psi, \tag{1.23} $$ 及其共轭式 (取式 (1.23) 的复共轭)

$$ -i\hbar \frac{\partial \Psi^{\ast}}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi^{\ast}}{\partial x^2} + V\Psi^{\ast} \tag{1.24} $$

所以

$$ \frac{\partial}{\partial t}\lvert\Psi\rvert^2 = \frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^{\ast} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} – \Psi \frac{\partial^2 \Psi^{\ast}}{\partial x^2}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^{\ast} \frac{\partial \Psi}{\partial x} – \Psi \frac{\partial \Psi^{\ast}}{\partial x}\right) \right] \tag{1.25} $$

现在式 (1.21) 的积分可以直接给出：

$$ \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\lvert\Psi(x,t)\rvert^2 dx = \left. \frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^{\ast} \frac{\partial \Psi}{\partial x} – \Psi \frac{\partial \Psi^{\ast}}{\partial x}\right) \right|_{-\infty}^{\infty} \tag{1.26} $$

但是，当 $x$ 趋于 $\pm \infty$ 时, $\Psi(x,t)$ 必须趋于零，否则波函数是不能够归一化的. 这样有

$$ \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\lvert\Psi(x,t)\rvert^2 dx = 0, \tag{1.27} $$

因此积分是一个常数（不依赖时间）；如果 $\Psi$ 在 $t=0$ 时是归一化的，它在以后所有时刻都保持归一化. 证毕.

5 动量

5.1 动量的计算

处于 $\Psi$ 态的粒子，其 $x$ 的期望值是

$$
\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x |\Psi(x, t)|^2 dx.
\tag{1.28}
$$

对于一个粒子而言，测量一次之后就坍缩至一个值，所以$\langle x \rangle$并不是多次测量的平均值；假如存在无数个处于相同状态$\Psi$的粒子，同时测量位置，平均值就是$\langle x \rangle$.

当系统随时间演化时，$\langle x \rangle$ 将发生变化（因为 $\Psi$ 是依赖时间的），我们对它运动变化快慢感兴趣. 参考式 (1.25) 和式 (1.28)，可以看到

$$
\frac{d\langle x \rangle}{dt} = \int x \frac{\partial}{\partial t} |\Psi|^2 dx = -\int \frac{i\hbar}{2m} x \frac{\partial}{\partial x} \left( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} – \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi \right) dx.
\tag{1.29}
$$

利用分部积分公式，上式可以简化为

$$
\frac{d\langle x \rangle}{dt} = -\frac{i\hbar}{2m} \int \left( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} – \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \Psi \right) dx
\tag{1.30}
$$

(我们利用了 $\partial x / \partial x = 1$ 的事实，由于在正负无限大处 $\Psi$ 趋于零，舍弃边界项). 对第二项再进行一次分部积分，有

$$
\frac{d\langle x \rangle}{dt} = -\frac{i\hbar}{m} \int \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} dx.
\tag{1.31}
$$

无法得知确切位置，也无法得知确切速度. 假设速度的期望值等于位置期望值对时间的导数：

$$
\langle v \rangle = \frac{d\langle x \rangle}{dt}.\tag{1.32}
$$

动量：

$$
\langle p \rangle = m \frac{d\langle x \rangle}{dt} = -i\hbar \int \left( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) dx.
\tag{1.33}
$$

5.2 推广

可以表示成：

$$
\langle x \rangle = \int \Psi^* (x) \Psi dx,
\tag{1.34}
$$
$$
\langle p \rangle = \int \Psi^* \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi dx.
\tag{1.35}
$$

算符 $x$ ”表示“位置，算符$-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ ”表示“动量，求任何物理量$Q（x,p）$的期望：

$$
\langle Q(x,p) \rangle = \int \Psi^* Q\left( x, -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \Psi dx.
\tag{1.36}
$$

6 不确定原理

经典物理分析：波的位置越精确，波长就越不精确，反之亦然. 傅里叶分析中一个定理可以给出证明. 适合任何波动现象，特别是量子力学波函数.

粒子的动量和 $\Psi$ 波长由德布罗意公式给出：

$$
p = \frac{h}{\lambda} = \frac{2\pi\hbar}{\lambda}
$$

因为有确定的公式，所以波长的弥散（对全同体系的测量不会产生同样的结果）对应动量的弥散. 位置测量越精确，动量测量约不精确.

$$
\sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{2}
$$

式中，$\sigma_x$ 是位置 $x$ 的标准差；$\sigma_p$ 是动量 $p$ 的标准差. 这就是著名的海森伯不确定原理.

以前我一直把这个例子当成不确定性的解释：一个飞的极快的飞虫，想要知道它在哪里，就要把他打死，这样失去了动量的信息；想要知道它的动量要近距离观察，可这样不能知道确切位置. 但是现在想来，用一个简单的“光电门”就能同时测量.

现在从波动的角度来看，原来是因为波的性质，导致了不确定性.